SCP와 유도항법제어 궤적 최적화

유도항법제어에서의 궤적 최적화와 비볼록성의 본질

자율 비행체, 궤도 재진입 우주선, 재사용 로켓, 다중 무인 항공기(UAV) 등 현대 유도항법제어(Guidance, Navigation, and Control, GNC) 시스템에서 궤적 최적화는 임무의 성공과 기체의 생존을 좌우하는 가장 핵심적인 수학적 의사결정 과정이다1. 궤적 최적화는 본질적으로 기체의 복잡한 비선형 동역학을 따르면서, 탑재된 추진제의 소모를 최소화하거나 비행시간을 단축하는 등 특정 임무 목적을 달성하는 상태(State) 및 제어(Control) 시계열을 도출하는 최적제어 문제(Optimal Control Problem, OCP)로 귀결된다2. 과거의 궤적 생성은 강력한 지상 컴퓨터를 이용해 오프라인에서 사전 계산(Pre-computation)하는 방식에 의존했으나, 예기치 못한 환경 교란이나 임무 변경에 유연하게 대처하기 위해서는 비행체의 탑재 컴퓨터에서 실시간(Real-time)으로 궤적을 재계산하는 알고리즘이 필수적이다1.

 

실시간 궤적 최적화가 직면하는 가장 큰 수학적 장벽은 '비볼록성(Non-convexity)'이다. 고전적인 궤적 계획에서 기체의 공기역학적 항력, 양력, 중력 모델 등은 고도의 비선형성을 띠며, 지형지물이나 다른 비행체를 회피하기 위한 충돌 회피(Collision Avoidance) 제약 또한 비볼록 집합(Non-convex set)을 형성한다4. 뿐만 아니라 엔진의 추력 크기가 최솟값과 최댓값 사이에서만 작동해야 하는 제약이나 가용 자세각의 제한 역시 목적 함수와 실행 가능 영역을 심각하게 왜곡하는 비볼록 조건이다6. 비볼록 최적화 문제는 지역 최적해(Local minima)에 빠지기 쉬우며 계산 복잡도가 비다항적(NP-Hard)으로 증가하기 때문에 탑재 컴퓨터 환경에서 엄격한 시간 내에 전역 최적해(Global optimum) 수렴을 보장할 수 없다2. 이러한 비선형 최적제어 문제의 구조적 한계를 돌파하기 위해 등장한 개념이 바로 원래의 비볼록 문제를 해석적, 수치적으로 다루기 쉬운 볼록 문제(Convex Problem)로 변환하여 해결하는 순차적 볼록 계획법(Sequential Convex Programming, SCP) 프레임워크다1.

 

무손실 볼록화(Lossless Convexification): 최적제어의 기하학적 재해석

볼록 최적화 기반 GNC 연구의 중대한 전환점은 워싱턴 대학교의 Behçet Açıkmeşe 교수 연구진이 화성 착륙 및 재사용 로켓의 동력 하강 유도(Powered Descent Guidance, PDG) 문제를 위해 제안한 무손실 볼록화(Lossless Convexification, LCvx) 이론에서 비롯되었다7. 우주선이나 로켓의 연착륙 문제에서 엔진 추력 벡터 \(T_c(t)\)의 크기는 물리적 특성상 최소 추력 \(\rho_1\)과 최대 추력 \(\rho_2\)사이로 제한된다 (\(0<\rho_1\le \lVert T_c(t)\rVert \le \rho_2\)). 여기서 상한선인 \(\lVert T_c(t)\rVert \le \rho_2\)는 볼록 제약이지만, 0보다 큰 하한선 제약인 \(\lVert T_c(t)\rVert \ge \rho_1\)은 제어 공간의 내부를 도려내는 형태이므로 근본적인 비볼록 제약이다6. 더불어 지형 상대 내비게이션(Terrain-Relative Navigation) 센서의 시야각 확보를 위한 추력 방향(Pointing) 제약 역시 90도를 초과할 경우 비볼록성을 띤다7.

 

LCvx 방법론은 추력 벡터 \(T_c\)의 크기와 분리된 새로운 스칼라 슬랙 변수(Slack variable) \(\Gamma (t)\)를 도입하여 이 난제를 해결한다. 구체적으로 원래의 비볼록 제약을 이완(Relaxation)하여 \(\lVert T_c(t) \rVert \le \Gamma(t)\)및 \(\rho_1 \le \Gamma (t) \le \rho_2\)라는 두 개의 새로운 제약으로 재구성한다7. 이는 기하학적으로 45도 각도로 잘린 원뿔(Cut cone) 형태의 볼록 집합을 형성한다11. 중요한 점은 폰트랴긴의 최대 원리(Pontryagin Maximum Principle)에 근거한 해석적 증명을 통해, 연료를 최소화하는 비용 함수 하에서는 최적해(Optimal solution)가 이완된 볼록 제약식의 경계선, 즉 \(\lVert T_c(t) \rVert = \Gamma (t)\)에서 반드시 형성된다는 사실이다7.

 

이러한 특성 덕분에 완화된 볼록 문제의 최적해는 원래의 비볼록 문제의 최적해와 수학적으로 완전히 동일하게 일치하며, 이를 '무손실(Lossless)'이라고 명명한다10. 초기 3-DoF 질점(Point mass) 모델을 가정한 궤적 최적화에서 LCvx는 놀라운 성능을 보여주었으며, 비행 소프트웨어가 다항 시간(Polynomial-time) 내에 전역 최적해를 찾는 것을 보장함으로써 내점법(Interior Point Method, IPM)과 같은 강력한 볼록 솔버의 항공우주 분야 도입을 촉진했다7.

 

연속적 볼록화(Successive Convexification)와 SCP 프레임워크

LCvx는 매우 우아한 수학적 해결책을 제시하지만, 6-DoF(자유도) 강체 동역학(Rigid Body Dynamics), 공기역학적 양력 및 항력 모델링, 복잡한 3차원 장애물 회피 조건 등이 결합되면 이완된 해가 경계선에서 형성됨을 해석적으로 증명하기 불가능해진다9. 이처럼 비선형성과 비볼록성이 시스템 전반에 결합되어 있어 해석적인 무손실 볼록화가 어려운 경우, 문제를 일련의 볼록 부분 문제(Convex Sub-problems)로 근사하여 반복적으로 해를 구하는 순차적 볼록 계획법(SCP) 및 연속적 볼록화(Successive Convexification, SCvx) 기법이 활용된다1.

 

SCP의 핵심 메커니즘은 이전 반복(Iteration) 단계에서 얻은 기준 궤적(Reference Trajectory) 주위에서 비선형 동역학 및 제약 조건을 1차 테일러 전개(Taylor expansion)로 선형화하는 것이다4. 하지만 비선형 시스템을 국소적으로 선형화한 모델은 기준 궤적에서 멀어질수록 실제 시스템과의 오차가 급격히 커지게 된다. 이를 통제하기 위해 SCP는 신뢰 영역(Trust Region)이라는 인위적 제약을 도입하여 알고리즘이 매 반복마다 갱신하는 궤적의 변화량을 특정 반경 이내로 제한한다14.

 

초기 SCP 연구에서는 신뢰 영역을 절대 넘을 수 없는 하드 제약(Hard constraint)으로 설정했으나, 이는 최적화 과정 중 인위적인 실행 불가능성(Artificial Infeasibility)을 초래하여 알고리즘이 조기 종료되는 문제를 낳았다9. 최신 연구에서는 이러한 한계를 극복하기 위해 신뢰 영역의 크기 자체를 결정 변수로 설정하고 비용 함수에 패널티를 부여하는 패널티 기반 신뢰 영역(Penalized Trust Region, PTR) 방법론과 가상 제어(Virtual Control) 변수를 도입하였다9. 가상 제어 변수는 비볼록 경로 제약을 엄격히 만족하기 어려울 때 시스템 방정식의 잔차(Residual)를 일시적으로 흡수하되, L1 정확한 패널티(Exact Penalty) 기법을 통해 종국에는 0으로 수렴하게 만들어 원래 시스템의 물리적 타당성을 복원한다1. 또한 최근에는 상태와 제어 입력이 복합적으로 얽힌 비선형 등식 제약(Nonlinear Equality Constraints)을 처리하기 위해 증강 볼록-오목 분해(Augmented Convex-Concave Decomposition, ACCD) 기법이 결합되어 첫 반복부터 실행 가능 영역을 넓히는 등 SCP 프레임워크의 강건성이 비약적으로 발전하고 있다15.

 

 

알고리즘별 수학적 보장성 및 아키텍처 비교

학계와 산업계에서는 다양한 문제 특성에 맞춰 고도화된 SCP 변형 알고리즘들을 개발해 왔다. 다음 표는 GNC 및 로보틱스에서 주로 사용되는 대표적인 SCP 알고리즘들의 아키텍처와 이론적 보장성을 비교한 것이다1.

 

알고리즘명	주요 개발 주체 / 기반 논문	최적성 증명 및 이론적 보장성	신뢰 영역 처리 방식 및 주요 적용 분야
SCvx (Successive Convexification)	워싱턴 대학교 / Açıkmeşe 등	시간 이산화 모델 기반, Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 최적성 조건 수렴 보장1.	동적(Dynamic) 하드 신뢰 영역 업데이트 구조. 로켓 하강, 유도탄, 대형 위성 재구성 등 6-DoF 응용 특화5.
GuSTO (Guaranteed Sequential Trajectory Opt.)	스탠포드 대학교 / Bonalli 등	연속 시간 모델 기반, 폰트랴긴 최대 원리(PMP)에 기초하여 정류점(Stationary point) 이상으로 수렴 보장3.	연속적 제어 제약 및 가변 최종 시간(Free final time) 문제 처리에 탁월. 로봇 팔, ISS 우주 비행 로봇 등3.
TrajOpt	버클리 대학교 / Schulman 등	충돌 회피 제약을 주로 다루며 이론적 KKT 수렴보다는 국소적 실용성 최적화에 중점14.	소프트 제약 기반 작동. 로봇 매니퓰레이터의 기하학적 장애물 회피 및 운동학적 계획(Kinematic planning)21.
ALTRO	카네기멜론 대학교 / Howell 등	증강 라그랑지안(Augmented Lagrangian)과 투영(Projection) 결합으로 피드백 기반 최적성 보장14.	동역학은 LQR로 직접 처리하고, 제약은 능동 집합(Active-set) 투영으로 만족시키는 대안적 접근 방식14.
SeCO (Sequential Conic Optimization)	Malyuta, Szmuk 등 최신 연구	가상 상태(Virtual state) 접근법 도입 및 시간 구간 확장(Time-interval dilation)을 통한 위상 독립적 수렴9.	행렬 분해(Matrix Factorization)가 불필요한 1차 솔버 통합. 다단계 로켓 착륙 및 상태 트리거 제약(STC) 완전 지원9.

 

현대 GNC 시스템으로의 심층 응용 및 적용 현황

SCP 알고리즘은 본래 이론적인 최적 제어 기법에 머물렀으나, 최근 고성능 온보드 프로세서의 발전과 솔버 효율성의 극대화로 실시간 임무 수행의 표준 기술로 자리 잡았다2. SpaceX, Blue Origin 등의 상업 우주 기업뿐만 아니라 다중 에이전트 자율 주행 차량에 이르기까지 그 응용 분야는 매우 넓다2.

 

6-DoF 다단계 로켓 착륙과 상태 트리거 제약(STC)

재사용 로켓의 궤적은 발사부터 궤도 투입, 대기권 재진입을 거쳐 수직 착륙(VTVL)에 이르기까지 여러 이질적인 비행 역학 단계를 거친다9. 엔진이 꺼진 채로 낙하하는 활공 단계(Coast phase)와 하강 속도를 감속하기 위해 추진기를 가동하는 동력 하강 단계(Powered Descent phase) 등 각 단계별로 기체의 질량 중심, 공력 중심, 추력 모델이 완전히 달라진다9.

 

과거에는 특정 고도나 속도에 도달했을 때 플랩(Flap)을 전개하거나 엔진을 점화하는 이산적(Discrete) 결정을 처리하기 위해 계산 복잡도가 극심한 혼합 정수 계획법(Mixed-Integer Programming, MIP)에 의존해야 했다9. 하지만 이 방식은 수치적 복잡도 때문에 온보드 실시간 계산이 불가능했다27. 이 문제를 해결하기 위해 SCP 프레임워크 내부에 상태 트리거 제약(State-Triggered Constraints, STC)이라는 새로운 패러다임이 도입되었다27. STC는 고도나 속도와 같은 특정 상태가 조건에 도달할 때의 논리적 전환점(Switching)을 연속적이고 미분 가능한 매개변수화 함수(예: D-GMSR 기법)를 통해 부드럽게 근사한다29.

 

특히 단일 교차 복합 상태 트리거 제약(Single-crossing compound STC) 접근법을 사용하면, 트리거 조건이 볼록 집합으로 표현될 경우 이벤트의 활성화 및 비활성화 과정을 온전한 볼록 최적화 문제로 다룰 수 있다9. 이를 통해 자유로운 위상 전환 시간(Free-transition-time)을 포함한 다단계 궤적 최적화를 혼합 정수 변수 없이 단 한 번의 최적화 흐름(Single-shot optimization)으로 풀어낸다9. 이 기법은 NASA의 차세대 행성 착륙 컴퓨터 프로젝트인 SPLICE에서 이중 사원수 유도(Dual Quaternion Guidance, DQG)와 함께 성공적으로 검증되며 지형 상대 내비게이션(TRN)과 결합된 초정밀 착륙을 실현하고 있다3.

 

 

무인 항공기(UAV) 및 자율주행의 충돌 회피 기법

도심 항공 모빌리티(UAM)나 쿼드로터 편대 비행, 그리고 자율 주행 차량 레이싱에서 차량 간, 혹은 기체와 건물 간의 3차원 충돌 회피는 가장 해결하기 까다로운 비볼록 제약이다4. 초기 연구에서는 장애물 제약을 목적 함수에 장벽 함수(Barrier function)로 추가하는 형태를 취했으나 전역 최적성을 상실하는 단점이 있었다25. 현재는 구면 확장(Spherical Expansion, SE) 알고리즘이나 비행 안전 복도(Safe Flight Corridor, SFC) 개념을 SCP와 결합하는 하이브리드 접근법이 주를 이룬다33.

 

SE-SCP 접근법의 경우, A* 등 그래프 기반 탐색 알고리즘으로 확보된 초기 경로를 따라 안전한 구형 영역을 연속적으로 생성한 뒤, 이를 선형화하여 SCP의 초기 추정치(Warm-start)로 활용한다34. 반경이 지나치게 좁을 경우 기체가 국소 해(Local minima)에 갇히는 현상을 방지하기 위해 구형 반경을 능동적으로 확장(Adaptive radius)하는 탐색 기법이 병행된다34. 또한 자율 주행 차량 레이싱 환경에서는 타이어 슬립 등의 고속 동역학 특성을 모델링하는 과정에서 모델 예측 제어(MPC)의 선형화 오류가 발생할 수 있는데, 이를 상쇄하기 위해 순차적 볼록 제한(Sequential Convex Restriction, SCR) 기법을 사용한다25. 순차적 선형화(Sequential Linearization, SL)가 단순히 제약을 이완한다면, SCR은 불확실성 마진을 고려해 제약을 강하게 조임으로써 도출된 해가 원래의 비선형 궤도 제약 내에서도 항상 실행 가능한 특성(Recursive Feasibility)을 갖도록 완벽히 보장한다25.

 

극초음속 재진입 및 신뢰 영역(Trust Region)의 혼합형 차수 설계

지구 혹은 화성으로 재진입하는 캡슐이나 극초음속 글라이더(Hypersonic Gliding Vehicle)의 궤적 최적화는 동압(Dynamic pressure), 열속(Heat flux), 하중 계수 등 복잡한 공력 가열 제약과 강한 비선형성으로 인해 SCP 알고리즘이 빈번하게 발산하는 분야다18. 특히 진입 각도(Angle of Attack)와 뱅크 각도(Bank angle)의 비선형 변환식은 단순한 1차 선형화로는 국부 오차가 너무 커 수렴성을 심각하게 해친다18.

 

이 발산 문제를 극복하기 위해 동토피(Homotopy) 기법이나 패널티 함수의 매끄러움(Smoothness) 정도를 점진적으로 조절하는 삼각 정규화 방법(Trigonometric Regularization Method)이 도입되었다37. 더욱 주목받는 해결책은 신뢰 영역 설계의 고도화다. 기존의 단순한 하드 신뢰 영역이나 1차 소프트 신뢰 영역(First-order soft trust region)은 비선형 공간에서 최적성을 잃거나 진동을 유발하는 원인으로 지목되었다18. 이에 대해 작은 가중치를 가진 1차 패널티 성분과 고차(High-order) 패널티 성분을 결합한 '혼합형 차수 소프트 신뢰 영역(Hybrid-order soft trust region)' 기법이 개발되었다18. 이 혼합형 설계는 초기 반복 단계에서는 고차 성분이 궤적을 최적해 근처로 널찍하게 끌어당기고, 이후 1차 성분의 강력한 국소 패널티 효과가 발휘되어 궤적의 진동 없이 매우 빠르게 수렴하도록 유도하여 재진입 궤적 계산의 신뢰성을 근본적으로 개선했다18.

 

차세대 패러다임: 미분 가능한 순차적 볼록 계획법(DSCP)

최근(2025-2026년) 궤적 최적화 학계는 SCP와 인공지능(AI)을 결합하는 '미분 가능한 순차적 볼록 계획법(Differentiable Sequential Convex Programming, DSCP)'이라는 차세대 패러다임을 확립하고 있다38. 통상적으로 SCP의 수렴 성능과 연산 효율은 초기 궤적 추정치, 신뢰 영역의 하이퍼파라미터, 비행 시간 분할 등 수많은 휴리스틱 파라미터에 극도로 민감하게 반응한다38. 기존에는 엔지니어의 직관이나 무작위 탐색(Grid Search)을 통해 이 파라미터들을 조정해야 했다39.

 

DSCP는 최적화 과정의 각 단계를 미분 가능한 연산 계층(Layer)으로 취급함으로써 이 문제를 근본적으로 해결한다41. 구체적으로, 이 기법은 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 최적성 조건과 라그랑주 쌍대 변수(Dual Variables)를 이용해 2차 뿔 계획법(SOCP)의 최적해에서 문제 데이터(동역학 행렬, 제약 조건 벡터 등)로 이어지는 1차 민감도(First-order sensitivity) 방정식을 수학적으로 도출한다38. 쌍대 변수의 비영(Non-zero) 특성을 분석하여 활성 제약(Active Constraints) 집합을 추출해 내면, 역전파(Backpropagation) 과정에서 복잡한 SOCP 최적화 레이어를 통과해 정확한 기울기(Exact gradient)를 전달할 수 있다38.

 

이 기술의 도입으로 신경망(Neural Network) 모델은 궤적 최적화의 최종 성능 지표(예: 연료 소모량, 계산 시간)로부터 오류 신호를 받아, 자유 최종 시간(Free final time) 문제에서의 최적 착륙 시간, 극초음속 활공체의 질량 대 표면적 비율, 그리고 하위 볼록 문제 내의 최적 신뢰 영역 패널티 계수를 엔드투엔드(End-to-End) 방식으로 스스로 학습하고 예측할 수 있게 되었다38. DSCP는 AI의 탐색(Exploration) 능력과 볼록 최적화의 엄격한 제약 충족(Constraint satisfaction) 보장성을 융합함으로써 항공우주 궤적 설계의 하이퍼파라미터 튜닝 부담을 제거하고 강건성을 비약적으로 끌어올리는 강력한 도구로 평가받는다39.

 

최적화 솔버 생태계 및 성능 분석

이러한 수학적 프레임워크가 실제 하드웨어에서 구동되기 위해서는 생성된 볼록 부분 문제를 빠르고 신뢰성 있게 푸는 소프트웨어 생태계가 필수적이다42. 연구 및 개발(R&D) 단계와 비행 소프트웨어(Flight Software) 탑재 단계는 각기 다른 요구 조건을 가진다. 다음 표는 궤적 최적화에 널리 사용되는 주요 모델링 언어와 오픈소스 및 상용 솔버의 특성을 정리한 것이다24.

 

도구 및 솔버	방식 및 특성	장단점 및 항공우주 분야 적합성
CVXPY	Python 기반 모델링 언어. 객체 지향적 문법 (DCP 규칙 적용)16.	문제 공식화가 매우 직관적임. 이면에서 표준 원뿔 형태(Standard Conic Form)로 자동 변환. 딥러닝 미분 통합(CvxpyLayers)도 지원16.
ECOS	내점법(Interior-Point Method, IPM) 기반 SOCP 솔버42.	C 기반으로 가볍고 메모리 사용량이 적어 임베디드 적용에 유리. 궤적 최적화 몬테카를로 시뮬레이션에서 96% 이상의 압도적 성공률(신뢰성)을 보장하는 표준 솔버42.
OSQP / SCS	1차 방법론(FOM, First-Order Methods) 기반 솔버 (ADMM 등 사용)42.	대규모 데이터 처리나 딥러닝 난이도의 문제는 빠르지만, 고도의 수치적 정밀도가 필요한 우주 궤적 문제에서는 성공률이 82% 수준으로 하락하는 불안정성이 관찰됨42.
Clarabel	최신 내점법(IPM) 기반 원뿔 계획법 솔버 (Rust/C 구현)43.	다양한 형태의 원뿔 구조와 이차 목적 함수를 안정적으로 통합 처리하는 현대적인 솔버43.
PIPG	비례-적분 사영 기울기(Proportional-Integral Projected Gradient) 1차 솔버9.	역행렬 계산 및 행렬 분해(Matrix Factorization) 연산을 완전히 제거. 저전력 프로세서에서도 기존 SOCP 솔버(ECOS 등) 대비 2.7배 이상 빠른 속도를 달성하여 우주선 탑재 컴퓨터(예: SPLICE) 최적의 대안으로 채택됨9.

 

 

결론

순차적 볼록 계획법(SCP)은 과거 오프라인 슈퍼컴퓨터의 영역에 머물던 고차원 비선형 궤적 최적화 문제를, 궤도 상의 우주 비행체 및 자율 주행 차량의 실시간 탑재 컴퓨터 환경으로 끌어내린 혁신적인 수학적 패러다임이다2. 초기 무손실 볼록화(LCvx) 기법이 특정 제어 제약 완화의 수학적 정당성을 확립한 이래로, SCvx, GuSTO, SeCO 등 다양한 알고리즘 아키텍처가 개발되어 복잡한 공기 역학적 특성, 다단계 비행 위상, 6자유도 동역학 제약을 안정적으로 통합 처리하는 데 성공했다8.

 

특히 혼합 정수 모델링의 필요성을 완벽히 제거한 상태 트리거 제약(STC)의 정립과 비선형 신뢰 영역 패널티 기법의 발전은 실용화의 핵심 원동력이 되었다9. 최근 미분 가능한 최적화 기법(DSCP)을 통해 AI와의 역전파 훈련 파이프라인이 완성되며, 시스템 튜닝의 난제였던 하이퍼파라미터 최적화마저 자동화되는 단계에 진입했다38. 앞으로 연산 병목이었던 역행렬 계산을 배제한 PIPG와 같은 초경량 1차 원뿔 최적화 솔버의 지원이 산업계에 본격적으로 확산됨에 따라9, SCP 기반 최적 제어 기술은 차세대 행성 탐사, 고속 자율 비행 군집 제어, 초정밀 도심 항공 모빌리티를 아우르는 필수 불가결한 두뇌 역할을 수행하게 될 것이다.

 

 

참고 자료

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3. Trajectory Optimization on Manifolds: A Theoretically-Guaranteed Embedded Sequential Convex Programming Approach | Request PDF - ResearchGate, https://www.researchgate.net/publication/368083027_Trajectory_Optimization_on_Manifolds_A_Theoretically-Guaranteed_Embedded_Sequential_Convex_Programming_Approach
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7. Lossless Convexification of Nonconvex Control Bound and Pointing Constraints of The Soft Landing Optimal Control Problem | PDF - Scribd, https://www.scribd.com/document/519236403/iee-tcst13
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22. Motion Planning Lecture 12 - Advanced Optimization, Comparison, and Hybrid Approaches - Andreas Orthey, https://www.aorthey.com/assets/lectures/motion-planning/12_lecture.pdf
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